7. Назовём натуральное число k зелёным, если существует натуральное n, такое что десятичная запись числа n! оканчивается ровно на k нулей, и фиолетовым в противном случае. Каких чисел больше на отрезке от 1 до 20262026: зелёных или фиолетовых?

Обозначим через \(Z(n)\) количество нулей в конце записи числа \(n!\). Тогда
\(Z(n)=\left\lfloor\frac n5\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{125}\right\rfloor+\cdots\).

Значение \(Z(n)\) изменяется только при переходе через число, кратное 5. Поэтому все положительные значения, которые принимаются функцией \(Z\), имеют вид \(Z(5m)\), где \(m\ge1\). Число таких значений, не превосходящих \(N=20262026\), равно максимальному \(m\), для которого \(Z(5m)\le N\).

Имеем:

\[Z(5m)=m+\left\lfloor\frac m5\right\rfloor+\left\lfloor\frac m{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac m{125}\right\rfloor+\cdots.\]

Для \(m=16209626\):

\[\begin{aligned} Z(5m)&=16209626+3241925+648385+129677+25935\\&\quad+5187+1037+207+41+8+1\\&=20262029>20262026.\end{aligned}\]

Так как при увеличении \(m\) функция возрастает, проверим предыдущее значение. При переходе от \(m=16209624\) к \(m=16209625\) добавляется \(1+v_5(16209625)=5\), поэтому

\[Z(5\cdot16209624)=20262023\le20262026,\]

а для \(m=16209625\) значение уже равно \(20262028>20262026\). Следовательно, зелёных чисел ровно \(16209624\).

Всего чисел на отрезке:

\[20262026-16209624=4052402.\]

Ответ: фиолетовых чисел больше. Зелёных — 16209624, фиолетовых — 4052402.