Ответ:

  1. Научный стиль — пишется буква ы: научный.
  2. Публицистический стиль — пишется сочетание ист и суффикс -ическ-: публицистический.
  3. Художественный стиль — пишется буква е; написание слова следует запомнить.
  4. Разговорный стиль — пишется буква ы: разговорный.