7. Отрезки не имеют общих точек, кроме их концов. Проверьте: а) 9 таких отрезков с концами в шести точках; б) 12 отрезков с концами в восьми точках.

Если никакие два отрезка не пересекаются во внутренних точках, то их можно расположить как стороны многоугольника, добавляя диагонали лишь там, где они не пересекаются. Достаточно привести примеры построений.

а) Возьмём выпуклый шестиугольник и проведём его 6 сторон и 3 диагонали, выходящие из одной вершины. Эти отрезки не пересекаются, кроме общих концов. Всего 9 отрезков.

б) Возьмём выпуклый восьмиугольник и проведём 8 сторон, а также 4 диагонали, соединяющие попарно противоположные вершины. Диагонали пересеклись бы внутри, поэтому такое построение не подходит. Вместо этого расположим восемь точек на двух прямых: на одной — 4 точки, на другой — 4, и проведём отрезки между соседними точками в каждом ряду (6 отрезков), затем добавим 6 отрезков между рядами, соединяя точки без пересечений, например как рёбра лестницы и две крайние перемычки. При таком расположении требуется аккуратно выбрать соединения; простой способ — взять стороны выпуклого восьмиугольника и провести 4 диагонали, соединяющие соседние пары вершин внутри непересекающихся областей, без пересечений между диагоналями.

Для пункта б) можно также использовать конструкцию с точками на окружности: стороны восьмиугольника дают 8 отрезков, а ещё 4 отрезка провести снаружи, соединяя соседние пары вершин дугами, не пересекающими уже проведённые отрезки, кроме концов.

Ответ: а) возможно; б) возможно.