7. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 35°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Задание 7. Ромб

Дано:

• Перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к стороне ромба образует угол \( 35^ \) с диагональю.

Найти: острый угол ромба.

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом \( 90^ \).
2. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
3. Рассмотрим треугольник, образованный половиной одной диагонали, половиной другой диагонали и стороной ромба. Этот треугольник прямоугольный.
4. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла (точка пересечения диагоналей) к гипотенузе (сторона ромба), делит этот треугольник на два подобных прямоугольных треугольника.
5. В условии задачи сказано, что перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к стороне ромба, образует угол 35° с одной из диагоналей. Это означает, что в прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной, высота, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол (90°) на два угла. Один из этих углов равен 35°.
6. Следовательно, второй угол, образованный высотой и второй половиной диагонали, равен \( 90^ - 35^ = 55^ \).
7. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов.
8. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб. В этом треугольнике один угол равен \( 90^ \). Другой угол равен половине одного из углов ромба, и третий угол равен половине другого угла ромба.
9. В исходном прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, углы равны \( 90^ \), \( α \) и \( β \), где \( α + β = 90^ \).
10. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, делит этот прямой угол. Углы, которые образует этот перпендикуляр с катетами, равны \( 35^ \) и \( 55^ \).
11. Эти углы равны острым углам двух меньших прямоугольных треугольников, на которые высота разбивает исходный прямоугольный треугольник.
12. Значит, острые углы меньших треугольников равны \( 35^ \) и \( 55^ \).
13. Углы ромба равны удвоенным углам этих меньших треугольников.
14. Один угол ромба равен \( 2 × 35^ = 70^ \).
15. Другой угол ромба равен \( 2 × 55^ = 110^ \).
16. Острый угол ромба равен \( 70^ \).

Ответ: 70.