7. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания ламп в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по теории вероятностей.

Что нам дано?

• Есть фонарь с двумя лампами.
• Вероятность того, что одна лампа перегорит за год, равна 0,3.

Что нужно найти?

• Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит за год.

Логика решения:

Событие «хотя бы одна лампа не перегорит» — это противоположное событие к «обе лампы перегорят». Проще найти вероятность того, что обе лампы перегорят, а потом вычесть её из единицы (это общее число вероятностей).

1. Найдем вероятность того, что одна лампа НЕ перегорит.

   Если вероятность перегорания одной лампы равна 0,3, то вероятность того, что она НЕ перегорит, равна:

   \[ P(\text{не перегорит}) = 1 - P(\text{перегорит}) = 1 - 0,3 = 0,7 \]

2. Найдем вероятность того, что ОБЕ лампы НЕ перегорят.

   Так как лампы работают независимо друг от друга, мы можем перемножить вероятности того, что каждая из них не перегорит:

   \[ P(\text{обе не перегорят}) = P(\text{первая не перегорит}) \times P(\text{вторая не перегорит}) = 0,7 \times 0,7 = 0,49 \]

3. Найдем вероятность того, что ХОТЯ БЫ ОДНА лампа НЕ перегорит.

   Событие «хотя бы одна не перегорит» означает, что либо первая не перегорит, либо вторая, либо обе. Это как раз то, что мы получили в предыдущем пункте, потому что если обе не перегорят, то условие «хотя бы одна не перегорит» выполняется.

Важный момент!

Давай переформулируем задачу, чтобы точно понять:

• Пусть событие A — первая лампа перегорит (P(A) = 0,3).
• Пусть событие B — вторая лампа перегорит (P(B) = 0,3).
• Тогда событие \(\bar{A}\) — первая лампа не перегорит (P(\(\bar{A}\)) = 0,7).
• И \(\bar{B}\) — вторая лампа не перегорит (P(\(\bar{B}\)) = 0,7).

Нам нужно найти вероятность события «хотя бы одна лампа не перегорит». Это событие означает, что:

• Первая не перегорела, а вторая перегорела
• Первая перегорела, а вторая не перегорела
• Обе не перегорели

Проще найти вероятность противоположного события — «Обе лампы перегорели».

\[ P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B) = 0,3 \times 0,3 = 0,09 \]

Теперь найдем вероятность того, что хотя бы одна лампа НЕ перегорит:

\[ P(\text{хотя бы одна не перегорит}) = 1 - P(\text{обе перегорят}) = 1 - 0,09 = 0,91 \]

Ответ: 0,91