7. Постройте график функции f(x) = x² − 2x − 8. Укажите свойства данной функции: область определения, множество значений, нули функции, промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции.

Question

Вопрос:

Фото задания

7. Постройте график функции f(x) = x² − 2x − 8. Укажите свойства данной функции: область определения, множество значений, нули функции, промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции.

Accepted Answer

Выделим полный квадрат: \(f(x)=x^2-2x-8=(x-1)^2-9\). Значит, вершина параболы — (1; −9), а ветви направлены вверх.

Найдём нули функции: \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0\), откуда \(x=-2\) или \(x=4\).

График функции:

Из разложения на множители следует, что функция положительна вне корней и отрицательна между ними. Из формы \((x-1)^2-9\) видно, что функция убывает до вершины и возрастает после неё.

Область определения: \(\mathbb{R}\).
Множество значений: \([-9; +\infty)\).
Нули функции: \(x=-2\) и \(x=4\).
\(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+infty)\).
\(f(x)<0\) при \(x\in(-2;4)\).
Убывает на \((-infty;1]\), возрастает на \([1;+infty)\).
Наименьшее значение равно −9 при \(x=1\); наибольшего значения нет.

Ответ: область определения — \(\mathbb{R}\); множество значений — \([-9; +\infty)\); нули — −2 и 4; положительна на \((−\infty;−2)\cup(4;+\infty)\), отрицательна на \((−2;4)\); убывает на \((−\infty;1]\), возрастает на \([1;+\infty)\); минимум −9, максимума нет.