7. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2+2,25)(x-1)}{1-x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne1\). При этих значениях \(\dfrac{x-1}{1-x}=-1\), поэтому график функции — парабола \(y=-x^2-2,25\) с выколотой точкой \((1;-3,25)\).

Для пересечения с прямой \(y=kx\) решаем уравнение \(-x^2-2,25=kx\), то есть \(x^2+kx+2,25=0\), учитывая ограничение \(x\ne1\). Дискриминант равен \(D=k^2-9\).

Если \(D=0\), прямая касается параболы. При \(k=3\) корень \(x=-1,5\), при \(k=-3\) корень \(x=1,5\); оба допустимы, значит, имеется по одной общей точке.

Если \(D>0\), обычно получаются две общие точки. Ровно один корень исключается из области определения, когда \(x=1\) является корнем: \(1+k+2,25=0\), откуда \(k=-3,25=-\frac{13}{4}\). Тогда второй корень допустим, поэтому общая точка ровно одна.

Ответ: \(k=-3,\ 3,\ -\frac{13}{4}\).