7. Постройте график функции y = ((x² + 2,25)(x − 1))/(1 − x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения исходной функции: \(x\ne1\). Сократим множитель, учитывая это ограничение:

\(y=\dfrac{(x^2+2.25)(x-1)}{1-x}=-(x^2+2.25)=-x^2-\dfrac94\), \(x\ne1\).

График — парабола \(y=-x^2-\dfrac94\) с выколотой точкой \(\left(1;-\dfrac{13}{4}\right)\). Для пересечения с прямой \(y=kx\) решаем \(-x^2-\dfrac94=kx\), то есть \(x^2+kx+\dfrac94=0\). Дискриминант равен \(D=k^2-9\). При \(|k|<3\) действительных пересечений нет; при \(k=3\) или \(k=-3\) есть одна точка касания. При \(|k|>3\) обычно получаются две точки.

Нужно также учесть выколотую точку: значение \(x=1\) является корнем уравнения пересечения, если \(1+k+\dfrac94=0\), откуда \(k=-\dfrac{13}{4}\). При этом второй корень равен \(\dfrac94\), поэтому из двух корней один исключён и остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: \(k=-3,\ 3,\ -\dfrac{13}{4}\).