Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Функция задана как \( y = x^2 + 3x - 5|x+1| + 11 \). Необходимо рассмотреть два случая для модуля \( |x+1| \).
Случай 1: \( x+1 \ge 0 \), то есть \( x \ge -1 \)
В этом случае \( |x+1| = x+1 \).
Функция принимает вид:
\( y = x^2 + 3x - 5(x+1) + 11 \)
\( y = x^2 + 3x - 5x - 5 + 11 \)
\( y = x^2 - 2x + 6 \)
Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x_v = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1 \).
При \( x = 1 \) (что удовлетворяет условию \( x \ge -1 \)), \( y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 1 - 2 + 6 = 5 \).
Ветвь параболы начинается при \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 - 2(-1) + 6 = 1 + 2 + 6 = 9 \).
Случай 2: \( x+1 < 0 \), то есть \( x < -1 \)
В этом случае \( |x+1| = -(x+1) \).
Функция принимает вид:
\( y = x^2 + 3x - 5(-(x+1)) + 11 \)
\( y = x^2 + 3x + 5(x+1) + 11 \)
\( y = x^2 + 3x + 5x + 5 + 11 \)
\( y = x^2 + 8x + 16 \)
Это также парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x_v = \frac{-8}{2 \cdot 1} = -4 \).
При \( x = -4 \) (что удовлетворяет условию \( x < -1 \)), \( y_v = (-4)^2 + 8(-4) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \).
Ветвь параболы заканчивается при \( x \to -1 \) (справа от -1), значение приближается к \( (-1)^2 + 8(-1) + 16 = 1 - 8 + 16 = 9 \).
Построение графика
График состоит из двух частей парабол:
- Для \( x \ge -1 \): \( y = x^2 - 2x + 6 \) (часть параболы с вершиной в (1, 5), проходит через (-1, 9)).
- Для \( x < -1 \): \( y = x^2 + 8x + 16 \) (часть параболы с вершиной в (-4, 0), приближается к (-1, 9)).
График будет иметь вид:
- Левая ветвь — парабола \( y = x^2 + 8x + 16 \) с вершиной в точке \( (-4, 0) \).
- Правая ветвь — парабола \( y = x^2 - 2x + 6 \) с вершиной в точке \( (1, 5) \).
- Точка \( (-1, 9) \) является «стыком» этих двух ветвей.
График будет выглядеть как «рогатка» с нижней точкой \( (-4, 0) \) и перегибом в \( (-1, 9) \) и подъемом до вершины \( (1, 5) \) и далее вверх.
Важно: Вершина \( (1, 5) \) для \( x > -1 \) и вершина \( (-4, 0) \) для \( x < -1 \).
График функции имеет следующие ключевые точки:
- Вершина левой ветви: \( (-4, 0) \).
- «Излом» (точка стыка): \( (-1, 9) \).
- Вершина правой ветви: \( (1, 5) \).
Прямая \( y = m \) будет иметь ровно три общие точки с графиком в следующих случаях:
- Когда прямая проходит через вершину одной из ветвей и пересекает другую ветвь в двух точках.
- Когда прямая проходит через «излом» графика.
Рассмотрим значения \( m \):
- Если \( m = 0 \) (проходит через вершину \( (-4, 0) \) левой ветви), то прямая будет иметь две точки пересечения: \( (-4, 0) \) и одну точку на правой ветви (так как \( y = x^2 - 2x + 6 \) имеет минимум 5, а \( m=0 \) ниже этого минимума).
- Если \( m = 5 \) (проходит через вершину \( (1, 5) \) правой ветви), то прямая будет иметь две точки пересечения: \( (1, 5) \) и одну точку на левой ветви (так как \( y = x^2 + 8x + 16 \) имеет минимум 0, а \( m=5 \) выше этого минимума).
- Если \( m = 9 \) (проходит через «излом» \( (-1, 9) \)), то прямая будет иметь три точки пересечения: \( (-1, 9) \), одну точку на левой ветви (где \( x < -4 \)) и одну точку на правой ветви (где \( x > 1 \)).
Таким образом, прямая \( y=m \) имеет ровно три общие точки с графиком, когда \( m=9 \).
Ответ: m = 9.
