№ 7. Прямоугольные треугольники \(APB\) и \(DPC\) расположены так, как показано на рисунке, причём \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, \(\angle ABP=75^\circ\), \(\angle DCP=67^\circ\). Найдите величины всех тупых углов четырёхугольника \(APCD\). Ответы выразите в градусах.

Оба треугольника прямоугольные: прямые углы находятся при \(P\). Так как \(AB\parallel CD\), угол между прямыми \(AB\) и \(DP\) равен углу между \(CD\) и \(DP\).

В прямоугольном треугольнике \(APB\): \(\angle PAB=90^\circ-75^\circ=15^\circ\).

Поскольку \(AB\parallel CD\), угол между \(AP\) и \(CD\) равен \(15^\circ\), а угол между \(DP\) и \(CD\) равен \(90^\circ-67^\circ=23^\circ\). Поэтому угол четырёхугольника при \(D\), между лучами \(DA\) и \(DC\), равен \(15^\circ+23^\circ=38^\circ\) как смежная с соответствующим углом при параллельных прямых? При этом сам угол между лучами \(DA\) и \(DC\) по рисунку острый, поэтому он не является искомым тупым углом.

Угол при \(C\) равен \(67^\circ\) и также острый. Угол при \(A\) между лучами \(AP\) и \(AD\): угол между \(AP\) и параллельной \(AB\) равен \(15^\circ\), а угол между \(AD\) и \(AB\) равен \(38^\circ\); следовательно, угол при \(A\) равен \(15^\circ+38^\circ=53^\circ\), он острый. Тогда единственный тупой угол — при \(P\): \(360^\circ-(53^\circ+38^\circ+67^\circ)=202^\circ\), что невозможно для внутреннего угла выпуклого четырёхугольника.

Условие/рисунок не согласуются: из прямоугольных треугольников и параллельности следует, что внутренние углы четырёхугольника при \(A,D,C\) равны соответственно \(15^\circ+\angle DAB\), \(\angle DAB-23^\circ\), и \(67^\circ\); при данном изображении не задано соотношение, позволяющее определить \(\angle DAB\). Равенство \(AB=CD\) этого не определяет без дополнительного условия о взаимном положении отрезков. Нужен уточнённый чертёж или условие, задающее угол/положение \(AD\); по имеющимся данным величины всех тупых углов однозначно найти нельзя.