7. Расположение корней квадратного трёхчлена. При каких значениях параметра \(a\) оба корня уравнения \(x^2-2ax+a+2=0\) больше числа 1?

Сделаем замену \(t=x-1\). Условие, что оба корня \(x\) больше 1, означает, что оба соответствующих корня \(t\) положительны.

Подставим \(x=t+1\): \((t+1)^2-2a(t+1)+a+2=0\), откуда \(t^2+(2-2a)t+(3-a)=0\).

Чтобы оба корня этого квадратного уравнения были положительными, необходимы и достаточны условия: дискриминант неотрицателен, сумма корней положительна и произведение корней положительно.

Сумма корней равна \(2a-2\), значит, \(a>1\). Произведение равно \(3-a\), значит, \(a<3\). Дискриминант исходного уравнения: \(D=(-2a)^2-4(a+2)=4(a-2)(a+1)\). Поэтому \(D\geq0\) при \(a\leq-1\) или \(a\geq2\).

Пересечение условий \(a>1\), \(a<3\) и \(a\leq-1\) или \(a\geq2\) даёт \(2\leq a<3\). При \(a=2\) корень двойной и равен 2; при \(a=3\) один из корней равен 1, поэтому 3 не входит в ответ.

Ответ: \(a\in[2;3)\).