7. Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Пусть мотоцикл встретил автомобиль через t часов после выезда автомобиля, а расстояние от A до C равно x км.

1. Мотоцикл ехал до встречи t − 1 час, поэтому x = 90(t − 1). Скорость автомобиля равна v = x/t = 90(t − 1)/t.

2. После встречи мотоциклу нужно x/90 часов, чтобы вернуться в A. Значит, автомобиль прибыл в B через t + x/90 = 2t − 1 часов после своего выезда.

3. Используем, что автомобиль проехал 403 км: \(\frac{403}{v}=2t-1\). Подставляем выражение для скорости: \(403t=90(t-1)(2t-1)\), откуда \(180t^2-673t+90=0\).

4. Корни уравнения: \(t=\frac{5}{36}\) и \(t=\frac{18}{5}\). Так как мотоцикл выехал через час после автомобиля, встреча произошла позже первого часа, поэтому подходит \(t=\frac{18}{5}\).

5. Тогда \(x=90\left(\frac{18}{5}-1\right)=234\) км.

Ответ: 234 км.