7. Решить задачу (с помощью системы уравнений). Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.

Решение:

Пусть \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости поездов (в км/ч). Расстояние между городами равно 270 км.

1. Найдем скорости поездов по условию встречи:
   Когда поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей. Время до встречи — 3 часа. Используем формулу: Расстояние = Скорость × Время.
   \[ 270 = (v_1 + v_2) \cdot 3 \]
   Разделим обе части на 3:
   \[ v_1 + v_2 = \frac{270}{3} \]
   \[ v_1 + v_2 = 90 \quad (1) \]
2. Найдем скорости поездов по условию времени в пути:
   Время одного поезда на весь путь: \( t_1 = \frac{270}{v_1} \).
   Время другого поезда на весь путь: \( t_2 = \frac{270}{v_2} \).
   Один поезд тратит на 1 час 21 минуту больше. Переведем 21 минуту в часы: \( 21 \text{ мин} = \frac{21}{60} \text{ ч} = 0.35 \text{ ч} \).
   Значит, разница во времени составляет \( 1.35 \) часа.
   Предположим, что \( v_1 \) — скорость более медленного поезда (он тратит больше времени).
   \[ \frac{270}{v_2} - \frac{270}{v_1} = 1.35 \quad (2) \]
3. Решим систему уравнений:
   Из уравнения (1) выразим \( v_1 \): \( v_1 = 90 - v_2 \).
   Подставим это в уравнение (2):
   \[ \frac{270}{v_2} - \frac{270}{90 - v_2} = 1.35 \]
   Умножим обе части на \( v_2 (90 - v_2) \) для избавления от знаменателей:
   \[ 270 (90 - v_2) - 270 v_2 = 1.35 v_2 (90 - v_2) \]
   \[ 24300 - 270 v_2 - 270 v_2 = 1.35 (90 v_2 - v_2^2) \]
   \[ 24300 - 540 v_2 = 121.5 v_2 - 1.35 v_2^2 \]
   Перенесем все члены в одну сторону:
   \[ 1.35 v_2^2 - 540 v_2 - 121.5 v_2 + 24300 = 0 \]
   \[ 1.35 v_2^2 - 661.5 v_2 + 24300 = 0 \]
   Для удобства умножим на 100:
   \[ 135 v_2^2 - 66150 v_2 + 2430000 = 0 \]
   Разделим на 135:
   \[ v_2^2 - 490 v_2 + 18000 = 0 \]
4. Найдем корни квадратного уравнения:
   Используем дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-490)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 - 72000 = 168100 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{168100} = 410 \]
5. Найдем значения скоростей:
   \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
   \[ v_2 = \frac{490 \pm 410}{2} \]
   Два возможных значения для \( v_2 \):
   \[ v_{2,1} = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450 \text{ км/ч} \]
   \[ v_{2,2} = \frac{490 - 410}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ км/ч} \]
6. Проверим полученные значения:
   Если \( v_2 = 450 \text{ км/ч} \), то \( v_1 = 90 - 450 = -360 \text{ км/ч} \). Скорость не может быть отрицательной, этот вариант не подходит.
   Если \( v_2 = 40 \text{ км/ч} \), то \( v_1 = 90 - 40 = 50 \text{ км/ч} \).
7. Проверим условие времени:
   Время первого поезда (скорость 50 км/ч): \( t_1 = \frac{270}{50} = 5.4 \text{ ч} \).
   Время второго поезда (скорость 40 км/ч): \( t_2 = \frac{270}{40} = 6.75 \text{ ч} \>.
   Разница во времени: \( 6.75 - 5.4 = 1.35 \text{ ч} \>.
   \( 1.35 \text{ ч} = 1 \text{ ч} + 0.35 \times 60 \text{ мин} = 1 \text{ ч} 21 \text{ мин} \). Условие выполнено.

Ответ: Скорости поездов — 50 км/ч и 40 км/ч.