Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( v_1 \) — скорость первого поезда, \( v_2 \) — скорость второго поезда.
Расстояние между городами равно 270 км. Поезда встречаются через 3 часа. Скорость сближения поездов равна сумме их скоростей: \( v_1 + v_2 \).
Используем формулу: расстояние = скорость × время.
\[ (v_1 + v_2) \cdot 3 = 270 \]\[ v_1 + v_2 = \frac{270}{3} \]\[ v_1 + v_2 = 90 \] (1)Один поезд тратит на весь путь на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Переведем 1 ч 21 мин в часы: \( 1 + \frac{21}{60} = 1 + \frac{7}{20} = 1.35 \) часа.
Время в пути для первого поезда: \( t_1 = \frac{270}{v_1} \).
Время в пути для второго поезда: \( t_2 = \frac{270}{v_2} \).
Пусть первый поезд едет дольше:
\[ t_1 = t_2 + 1.35 \]\[ \frac{270}{v_1} = \frac{270}{v_2} + 1.35 \] (2)Из уравнения (1) выразим \( v_1 \): \( v_1 = 90 - v_2 \).
Подставим во второе уравнение:
\[ \frac{270}{90 - v_2} = \frac{270}{v_2} + 1.35 \]Умножим все на \( v_2(90 - v_2) \), чтобы избавиться от знаменателей:
\[ 270 v_2 = 270(90 - v_2) + 1.35 v_2(90 - v_2) \]\[ 270 v_2 = 24300 - 270 v_2 + 121.5 v_2 - 1.35 v_2^2 \]Перенесём всё в одну сторону:
\[ 1.35 v_2^2 + (270 + 270 - 121.5) v_2 - 24300 = 0 \]\[ 1.35 v_2^2 + 418.5 v_2 - 24300 = 0 \]Разделим всё на 1.35:
\[ v_2^2 + 310 v_2 - 18000 = 0 \]Найдём дискриминант:
\[ D = 310^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18000) = 96100 + 72000 = 168100 \]\( \sqrt{D} = \sqrt{168100} = 410 \).
Найдём \( v_2 \):
\[ v_2 = \frac{-310 \pm 410}{2} \]Так как скорость не может быть отрицательной, берём положительный корень:
\[ v_2 = \frac{-310 + 410}{2} = \frac{100}{2} = 50 \] км/ч.Теперь найдём \( v_1 \) из уравнения \( v_1 + v_2 = 90 \):
\[ v_1 = 90 - v_2 = 90 - 50 = 40 \] км/ч.Проверим время в пути:
\[ t_1 = \frac{270}{40} = 6.75 \] часа.\( t_2 = \frac{270}{50} = 5.4 \) часа.
\( t_1 - t_2 = 6.75 - 5.4 = 1.35 \) часа, что соответствует 1 часу 21 минуте.
Ответ: Скорость одного поезда 40 км/ч, скорость другого поезда 50 км/ч.
