№7. Решите неравенства: 1) \(\frac{2x}{3}-\frac{x+3}{18}\leq\frac{5}{6}-\frac{x-4}{9}\); 2) \(361>x^2\); 3) \((x+9)^2<(x-6)^2\); 4) \(\frac{x-1}{x+6}+\frac{x+3}{x+4}>2\); 5) \((x^2-4x-21)(2x^2-3x-20)\leq0\).

1) Умножим обе части на 18 — положительное число, поэтому знак неравенства не меняется:

\(12x-(x+3)\leq15-2(x-4)\).

\(11x-3\leq23-2x\), откуда \(13x\leq26\).

Ответ: \(x\leq2\).

2) Перенесём к сравнению квадратов: \(x^2<361=19^2\). Следовательно, \(-19<x<19\).

Ответ: \(x\in(-19;19)\).

3) Перенесём выражения в одну сторону и разложим разность квадратов:

\((x+9)^2-(x-6)^2=[(x+9)-(x-6)][(x+9)+(x-6)]=15(2x+3)<0\).

Так как \(15>0\), получаем \(2x+3<0\), то есть \(x<-\frac{3}{2}\).

Ответ: \(x\in(-\infty;-\frac{3}{2})\).

4) Ограничения: \(x\ne-6\), \(x\ne-4\). Перенесём 2 в левую часть и приведём к общему знаменателю:

\(\frac{(x-1)(x+4)+(x+3)(x+6)-2(x+6)(x+4)}{(x+6)(x+4)}>0\), то есть \(\frac{-8x-34}{(x+6)(x+4)}>0\).

Критические точки: \(-6\), \(-\frac{17}{4}\), \(-4\). Анализ знаков дроби даёт положительные значения на промежутках \((-;-6)\) и \((-\frac{17}{4};-4)\). Точки \(-6\) и \(-4\) исключены из области определения, а \(-\frac{17}{4}\) не входит из-за строгого неравенства.

Ответ: \(x\in(-\infty;-6)\cup(-\frac{17}{4};-4)\).

5) Разложим оба множителя на линейные:

\((x^2-4x-21)(2x^2-3x-20)=(x-7)(x+3)(2x+5)(x-4)\).

Нули произведения: \(-3\), \(-\frac{5}{2}\), \(4\), \(7\). Все корни простые, знак произведения при переходе через каждый корень меняется. Произведение не положительно на промежутках \([-3;-\frac{5}{2}]\) и \([4;7]\); концы включены, поскольку требуется \(\leq0\).

Ответ: \(x\in[-3;-\frac{5}{2}]\cup[4;7]\).