7. Решите систему уравнений: a) { 2x+4y=16, 3x-2y=-16; б) { 2x+y²=11, x-y=4; в) { xy = -8, x+2y=6.

Решение:

Решим каждую систему уравнений по отдельности.

Система а)

\( \begin{cases} 2x+4y=16 \\ 3x-2y=-16 \end{cases} \)

1. Умножим второе уравнение на 2: \( \begin{cases} 2x+4y=16 \\ 6x-4y=-32 \end{cases} \)
2. Сложим оба уравнения: \( (2x+4y) + (6x-4y) = 16 + (-32) \) \( \Rightarrow 8x = -16 \) \( \Rightarrow x = -2 \)
3. Подставим \( x = -2 \) в первое уравнение: \( 2(-2) + 4y = 16 \) \( \Rightarrow -4 + 4y = 16 \) \( \Rightarrow 4y = 20 \) \( \Rightarrow y = 5 \)

Ответ: \( x = -2, y = 5 \)

Система б)

\( \begin{cases} 2x+y^2=11 \\ x-y=4 \end{cases} \)

1. Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = y+4 \)
2. Подставим \( x = y+4 \) в первое уравнение: \( 2(y+4) + y^2 = 11 \) \( \Rightarrow 2y + 8 + y^2 = 11 \) \( \Rightarrow y^2 + 2y - 3 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение для \( y \): \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \) \( \Rightarrow y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \), \( y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \)
4. Найдем соответствующие значения \( x \):
• При \( y_1 = 1 \): \( x_1 = 1 + 4 = 5 \)
• При \( y_2 = -3 \): \( x_2 = -3 + 4 = 1 \)

Ответ: \( (5, 1) \) и \( (1, -3) \)

Система в)

\( \begin{cases} xy = -8 \\ x+2y=6 \end{cases} \)

1. Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = 6 - 2y \)
2. Подставим \( x = 6 - 2y \) в первое уравнение: \( (6-2y)y = -8 \) \( \Rightarrow 6y - 2y^2 = -8 \) \( \Rightarrow 2y^2 - 6y - 8 = 0 \) \( \Rightarrow y^2 - 3y - 4 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение для \( y \): \( D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \) \( \Rightarrow y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \), \( y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)
4. Найдем соответствующие значения \( x \):
• При \( y_1 = 4 \): \( x_1 = 6 - 2(4) = 6 - 8 = -2 \)
• При \( y_2 = -1 \): \( x_2 = 6 - 2(-1) = 6 + 2 = 8 \)

Ответ: \( (-2, 4) \) и \( (8, -1) \)