7. Решите уравнение 4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0.

Решение:

Запишем уравнение:

\( 4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0 \)

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

\( 4^x \cdot 4^1 + 4^1 \cdot 4^{-x} - 10 = 0 \)

\( 4 \cdot 4^x + \frac{4}{4^x} - 10 = 0 \)

Пусть \( y = 4^x \). Так как \( 4^x > 0 \) для любого \( x \), то \( y > 0 \).

Подставим \( y \) в уравнение:

\( 4y + \frac{4}{y} - 10 = 0 \)

Умножим обе части уравнения на \( y \) (так как \( y \neq 0 \)):

\( 4y^2 + 4 - 10y = 0 \)

Приведём к стандартному виду квадратного уравнения:

\( 4y^2 - 10y + 4 = 0 \)

Разделим обе части на 2:

\( 2y^2 - 5y + 2 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 4^x \).

1. \( 4^x = 2 \)

\( (2^2)^x = 2^1 \)

\( 2^{2x} = 2^1 \)

\( 2x = 1 \)

\( x = \frac{1}{2} \)

2. \( 4^x = \frac{1}{2} \)

\( (2^2)^x = 2^{-1} \)

\( 2^{2x} = 2^{-1} \)

\( 2x = -1 \)

\( x = -\frac{1}{2} \)

Проверим корни.

При \( x = \frac{1}{2} \): \( 4^{\frac{1}{2}+1} + 4^{1-\frac{1}{2}} - 10 = 4^{\frac{3}{2}} + 4^{\frac{1}{2}} - 10 = (2^2)^{\frac{3}{2}} + (2^2)^{\frac{1}{2}} - 10 = 2^3 + 2^1 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0 \).

При \( x = -\frac{1}{2} \): \( 4^{-\frac{1}{2}+1} + 4^{1-(-\frac{1}{2})} - 10 = 4^{\frac{1}{2}} + 4^{\frac{3}{2}} - 10 = (2^2)^{\frac{1}{2}} + (2^2)^{\frac{3}{2}} - 10 = 2^1 + 2^3 - 10 = 2 + 8 - 10 = 0 \).

Оба корня подходят.

Ответ: x = \(\frac{1}{2}\), x = \(-\frac{1}{2}\).