Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика7. Решите уравнение: a) 2cos²x - 5 cos x − 3 = 0; б) 5cos²x + 2sin² x = 0,5 sin2x + 3; в) cos10x = cosx; г) sin9xcosx - cos9xsinx = 0,5; д) √2sinx = sin 2x; е) sin(π/12 - x) - sinx = 0; ж) cos(2x+π/4)cosx + sin(2x+π/4)sinx = -√2/2.
Ответ:
Решение:
Давай разберем каждое уравнение по порядку.
а) 2cos²x - 5 cos x − 3 = 0
Это квадратное уравнение относительно cos x. Сделаем замену: пусть t = cos x. Тогда уравнение примет вид:
\[ 2t^2 - 5t - 3 = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 \]
Найдем корни:
\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{5 \pm 7}{4} \]
\[ t_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
\[ t_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]
Теперь вернемся к замене t = cos x:
1. cos x = 3. Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.
2. cos x = -0.5. Решения этого уравнения:
\[ x = \pm \arccos(-0.5) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Так как $$\arccos(-0.5) = \frac{2\pi}{3}$$, то:
\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
б) 5cos²x + 2sin² x = 0,5 sin2x + 3
Используем основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1, откуда sin²x = 1 - cos²x. Также используем формулу синуса двойного угла: sin2x = 2sinxcosx.
Подставляем:
\[ 5\cos^2 x + 2(1 - \cos^2 x) = 0.5 (2\sin x \cos x) + 3 \]
\[ 5\cos^2 x + 2 - 2\cos^2 x = \sin x \cos x + 3 \]
\[ 3\cos^2 x - 1 = \sin x \cos x \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ 3\cos^2 x - \sin x \cos x - 1 = 0 \]
Заменим 1 на sin²x + cos²x:
\[ 3\cos^2 x - \sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 \]
\[ 3\cos^2 x - \sin x \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0 \]
\[ 2\cos^2 x - \sin x \cos x - \sin^2 x = 0 \]
Разделим обе части на cos²x (при условии, что cos x ≠ 0. Если cos x = 0, то sin x = ±1. Подставляем в исходное уравнение: 5(0) + 2(±1)² = 0.5(0) + 3 => 2 = 3, что неверно. Значит, cos x ≠ 0):
\[ 2 - \tan x - \tan^2 x = 0 \]
Пусть u = tan x:
\[ u^2 + u - 2 = 0 \]
Найдем корни:
\[ (u+2)(u-1) = 0 \]
\[ u_1 = 1, \quad u_2 = -2 \]
Возвращаемся к замене:
1. tan x = 1:
\[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
2. tan x = -2:
\[ x = \arctan(-2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
в) cos10x = cosx
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида cos A = cos B. Его решение:
\[ A = \pm B + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
В нашем случае A = 10x и B = x:
1. 10x = x + 2πk
\[ 9x = 2\pi k \]
\[ x = \frac{2\pi k}{9}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
2. 10x = -x + 2πn
\[ 11x = 2\pi n \]
\[ x = \frac{2\pi n}{11}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
г) sin9xcosx - cos9xsinx = 0,5
Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности: sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB.
В нашем случае A = 9x и B = x:
\[ \sin(9x - x) = 0.5 \]
\[ \sin(8x) = 0.5 \]
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида sin X = a. Его решение:
\[ X = (-1)^m \arcsin(a) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]
Так как $$\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$$:
\[ 8x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]
\[ x = \frac{(-1)^m \pi}{48} + \frac{\pi m}{8}, \quad m \in \mathbb{Z} \]
д) √2sinx = sin 2x
Используем формулу синуса двойного угла: sin 2x = 2sinxcosx.
\[ \sqrt{2} \sin x = 2 \sin x \cos x \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ \sqrt{2} \sin x - 2 \sin x \cos x = 0 \]
Вынесем sin x за скобки:
\[ \sin x (\sqrt{2} - 2 \cos x) = 0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1. sin x = 0:
\[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
2. √2 - 2 cos x = 0:
\[ 2 \cos x = \sqrt{2} \]
\[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
е) sin(π/12 - x) - sinx = 0
Это уравнение вида sin A - sin B = 0. Используем формулу разности синусов: sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2).
В нашем случае A = π/12 - x и B = x:
\[ 2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{12} - x + x}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{\pi}{12} - x - x}{2}\right) = 0 \]
\[ 2 \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \sin\left(\frac{\frac{\pi}{12} - 2x}{2}\right) = 0 \]
\[ 2 \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \sin\left(\frac{\pi}{24} - x\right) = 0 \]
Так как $$\cos(\frac{\pi}{24}) \neq 0$$, то:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{24} - x\right) = 0 \]
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида sin X = 0. Его решение:
\[ X = \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]
\[ \frac{\pi}{24} - x = \pi m \]
\[ x = \frac{\pi}{24} - \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]
Или, что то же самое:
\[ x = \frac{\pi}{24} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
ж) cos(2x+π/4)cosx + sin(2x+π/4)sinx = -√2/2
Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса разности: cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB.
В нашем случае A = 2x + π/4 и B = x:
\[ \cos\left((2x + \frac{\pi}{4}) - x\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида cos Y = a. Его решение:
\[ Y = \pm \arccos(a) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Так как $$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$$:
\[ x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
1. x + π/4 = 3π/4 + 2πk
\[ x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]
\[ x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k \]
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
2. x + π/4 = -3π/4 + 2πn
\[ x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]
\[ x = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi n \]
\[ x = -\pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Или, что то же самое:
\[ x = \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]
Ответ:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
