7. С помощью графика зависимости скорости вращения звезд от расстояния до центра спиральных галактик NGC 4984 и NGC 7664 (рис. 32) определите их массы. Расстояние от ядра галактик принимайте R = 20 кпк.

Краткое пояснение:

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать закон всемирного тяготения, применяя его к движению звезды по круговой орбите вокруг центра галактики. Предполагается, что масса галактики сосредоточена в ее центре, и звезда движется по круговой орбите со скоростью $$v$$ на расстоянии $$R$$ от центра.

Сила тяготения, действующая на звезду, равна центростремительной силе:

$$ F_{\text{тяж}} = F_{\text{цс}} $$

$$ G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v^2}{R} $$

где $$M$$ — масса галактики, $$m$$ — масса звезды, $$v$$ — скорость вращения звезды, $$R$$ — расстояние от центра галактики, $$G$$ — гравитационная постоянная.

Из этого уравнения мы можем выразить массу галактики $$M$$:

$$ M = \frac{v^2 R}{G} $$

Однако, поскольку абсолютное значение $$G$$ нам неизвестно, а также для упрощения расчетов, мы можем воспользоваться приближением, что для данной задачи нам достаточно определить относительную массу или использовать данные графика для оценки.

Из графика видно:

• Для галактики NGC 4984 (Sa) на расстоянии $$R = 20$$ кпк скорость вращения $$v$$ составляет приблизительно $$350$$ км/с.
• Для галактики NGC 7664 (Sc) на расстоянии $$R = 20$$ кпк скорость вращения $$v$$ составляет приблизительно $$220$$ км/с.

Так как масса пропорциональна квадрату скорости (при фиксированном $$R$$ и $$G$$), мы можем сравнить массы:

$$ \frac{M_{\text{NGC 4984}}}{M_{\text{NGC 7664}}} = \frac{v_{\text{NGC 4984}}^2}{v_{\text{NGC 7664}}^2} $$

$$ \frac{M_{\text{NGC 4984}}}{M_{\text{NGC 7664}}} = \frac{(350 \text{ км/с})^2}{(220 \text{ км/с})^2} \approx \frac{122500}{48400} \approx 2.53 $$

Таким образом, масса галактики NGC 4984 примерно в 2.53 раза больше массы галактики NGC 7664.

Примечание: Для определения абсолютной массы галактик в килограммах или солнечных массах, необходимо знать значение гравитационной постоянной $$G$$ и перевести скорости и расстояния в соответствующие единицы СИ. В данном случае, мы даем относительную оценку масс, исходя из предоставленного графика.