7. $$S_{\triangle MKT}=8, S_{\triangle MNE}=x$$.

Решение:

На рисунке изображены два треугольника: $$\triangle MKT$$ и $$\triangle MNE$$.

Из рисунка видно, что точка $$K$$ лежит на стороне $$MN$$, а точка $$T$$ лежит на стороне $$ME$$. Также на стороне $$ME$$ отмечены две одинаковые отметки, что означает, что $$MT = TE$$.

Если два треугольника имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению их оснований.

Рассмотрим $$\triangle MKT$$ и $$\triangle MNE$$. Если провести высоту из вершины $$T$$ к стороне $$MN$$, то она будет общей для $$\triangle MKT$$ и $$\triangle KTE$$.

Однако, более очевидным является тот факт, что $$\triangle MKT$$ и $$\triangle MNE$$ имеют общую вершину $$M$$. Рассмотрим высоту, опущенную из вершины $$M$$ на основание $$NE$$. Такая высота не является общей.

Рассмотрим $$\triangle MKT$$ и $$\triangle MNE$$. Если провести высоту из вершины $$M$$ к основанию $$NE$$, это не даст прямого соотношения.

Рассмотрим $$\triangle MKT$$ и $$\triangle KTE$$. Они имеют общую высоту из вершины $$K$$ на $$ME$$. Так как $$MT = TE$$, то $$S_{\triangle MKT} = S_{\triangle KTE} = 8$$.

Теперь рассмотрим $$\triangle MNE$$. Оно состоит из $$\triangle MKT$$, $$\triangle KTE$$ и $$\triangle KNE$$.

Если провести высоту из вершины $$M$$ к стороне $$NE$$, то она будет общей для $$\triangle MKT$$ и $$\triangle MNE$$ только в случае, если $$K$$ лежит на $$NE$$, что не так.

Рассмотрим $$\triangle MKT$$ и $$\triangle MNE$$. Они имеют общую вершину $$M$$. Отношение их площадей будет равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы, если угол между этими сторонами равен.

Так как $$MT = TE$$, то $$ME = MT + TE = 2MT$$.

Рассмотрим $$\triangle MKT$$ и $$\triangle MNE$$. Они имеют общий угол $$\angle M$$.

Отношение площадей двух треугольников с общим углом равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол.

$$\frac{S_{\triangle MKT}}{S_{\triangle MNE}} = \frac{MK \cdot MT}{MN \cdot ME}$$

У нас есть $$S_{\triangle MKT} = 8$$ и $$S_{\triangle MNE} = x$$.

Из рисунка видно, что $$MK = 3$$ и $$KN = 6$$. Следовательно, $$MN = MK + KN = 3 + 6 = 9$$.

Из рисунка видно, что $$MT = TE$$. Следовательно, $$ME = MT + TE = 2MT$$.

Подставим известные значения:

$$\frac{8}{x} = \frac{3 \cdot MT}{9 \cdot 2MT}$$

$$\frac{8}{x} = \frac{3 \cdot MT}{18 \cdot MT}$$

$$\frac{8}{x} = \frac{3}{18}$$

$$\frac{8}{x} = \frac{1}{6}$$

Теперь решим уравнение для $$x$$:

$$x = 8 \cdot 6$$

$$x = 48$$

Ответ: $$x=48$$.