7. Шестиугольное сечение. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость пересекает все шесть рёбер, выходящих из вершин A и C, и параллельна диагонали BD нижней грани. Сколько сторон может иметь сечение?

Такой плоскости не существует: условия задачи противоречат друг другу.

Введём координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), D(0, 1, 0), C(1, 1, 0), а вертикальные рёбра направлены вдоль оси z. Поскольку плоскость параллельна BD, её уравнение имеет вид x + y + λz = t.

Если плоскость пересекает рёбра AB и AD, то на них z = 0, а значения x + y меняются от 0 до 1. Значит, t должно быть между 0 и 1. Если же она пересекает рёбра CB и CD, то на них z = 0, а значения x + y меняются от 1 до 2. Тогда t должно быть между 1 и 2. Одновременно выполнить оба условия нельзя, кроме возможного случая t = 1, когда пересечения приходятся на концы рёбер B и D.

При t = 1 плоскость пересекла бы AA₁, только если λ ≥ 1, а CC₁ — только если λ ≤ −1. Это также невозможно.

Ответ: такой плоскости и соответствующего сечения нет, поэтому число его сторон определить нельзя.