7. sinA = ? HB=4 BC=12

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) проведена высота \( BH \) к гипотенузе \( AC \).

Нам дано:

• \( BH = 4 \)
• \( BC = 12 \)

В прямоугольном треугольнике \( BHC \) катет \( BH \) равен 4, а гипотенуза \( BC \) равна 12.

Мы можем найти синус угла \( C \) в треугольнике \( BHC \):

\[ \sin C = \frac{BH}{BC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Так как \( ABC \) — прямоугольный треугольник, углы \( A \) и \( C \) являются острыми углами, и сумма их равна \( 90^{\circ} \).

Следовательно, \( lockquote{sinA} = lockquote{\text{cosC}} \).

Мы можем найти \( lockquote{\text{cosC}} \) используя основное тригонометрическое тождество: \( lockquote{\sin^2 C + \cos^2 C} = 1 \).

\[ \cos^2 C = 1 - \sin^2 C \]\[ \cos^2 C = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \]\[ \cos^2 C = 1 - \frac{1}{9} \]\[ \cos^2 C = \frac{8}{9} \]

Так как \( C \) — острый угол, \( lockquote{\cos C} \) положительный:

\[ \cos C = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Теперь мы можем найти \( lockquote{\sin A} \):

\[ \sin A = \cos C = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Ответ: \( \sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).