7. Сколько точек пересечения могут иметь 5 прямых? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте соответствующий рисунок.

Если прямые совпадают, точек пересечения бесконечно много. Если считать пять прямых различными, возможны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 10 точек пересечения. Две различные прямые могут пересечься не более чем в одной точке, поэтому максимум равен числу пар прямых: \(\binom{5}{2}=10\). Девять точек получить нельзя: для девяти пересечений должны пересечься все пары, кроме одной; три прямые, попарно пересекающиеся, проходят через одну общую точку, так что такая конфигурация уменьшает число различных точек пересечения.

Примеры, покрывающие все возможные конечные значения: параллельные прямые дают 0; пучок из пяти прямых с общей точкой — 1; три прямые через одну точку и две параллельные друг другу прямые в общем положении дают 7; пять прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две из которых не параллельны, дают 10. Промежуточные значения 2–6 и 8 получаются, например, постепенным изменением положения прямых так, чтобы отдельные пересечения совпадали или уходили в параллельность.

Схематические примеры крайних случаев:

Ответ: для пяти различных прямых возможны 0–8 или 10 точек пересечения; максимум — 10.