7. Сложная геометрия: Квадрат в квадрате Внутри квадрата со стороной 1 отмечена точка, расстояния от которой до двух соседних вершин равны √5/2 и √10/2. Вопрос: Найдите расстояние от этой точки до противоположной вершины квадрата. Подсказка: Введите координаты: квадрат (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Пусть точка (х, у). Составьте систему по теореме Пифагора для данных расстояний. Найдите х² + y².

Решение:

1. Пусть квадрат имеет вершины в точках A(0,0), B(1,0), C(1,1) и D(0,1). Пусть точка P имеет координаты (x, y).
2. Расстояние от точки P до соседних вершин:
• Расстояние до A(0,0): \(PA^2 = x^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}\).
• Расстояние до D(0,1): \(PD^2 = x^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\).
3. Подставим \(x^2 = \frac{5}{4} - y^2\) во второе уравнение:
• \(\left(\frac{5}{4} - y^2\right) + (y-1)^2 = \frac{5}{2}\)
• \(\frac{5}{4} - y^2 + y^2 - 2y + 1 = \frac{5}{2}\)
• \(\frac{9}{4} - 2y = \frac{5}{2}\)
• \(-2y = \frac{5}{2} - \frac{9}{4} = \frac{10}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{4}\)
• \(y = -\frac{1}{8}\)
4. Теперь найдём \(x^2\):
• \(x^2 = \frac{5}{4} - y^2 = \frac{5}{4} - \left(-\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{64} = \frac{80}{64} - \frac{1}{64} = \frac{79}{64}\)
5. Нас просят найти \(x^2 + y^2\). Используя первое уравнение, мы уже знаем, что \(x^2 + y^2 = \frac{5}{4}\).
6. Проверка: \(x^2 + y^2 = \frac{79}{64} + \left(-\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{79}{64} + \frac{1}{64} = \frac{80}{64} = \frac{5}{4}\).

Ответ: \(\frac{5}{4}\).