7. Сравните значение выражений f(29 - 8√13) и g(4 + √13), если f(x) = √x, g(x) = 3/x

Решение:

Сначала найдём значение \( f(29 - 8\sqrt{13}) \):

\( f(29 - 8\sqrt{13}) = \sqrt{29 - 8\sqrt{13}} \)

Попробуем упростить выражение под корнем, представив его в виде \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

\( 29 - 8\sqrt{13} = 29 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{13} \)

Нам нужно найти \( a \) и \( b \) такие, что \( a^2 + b^2 = 29 \) и \( ab = 4\sqrt{13} \).

Попробуем \( a = 4 \) и \( b = \sqrt{13} \) или наоборот.

Если \( a = 4 \) и \( b = \sqrt{13} \): \( a^2 = 16 \), \( b^2 = 13 \). \( a^2 + b^2 = 16 + 13 = 29 \). Это подходит.

Значит, \( 29 - 8\sqrt{13} = (4 - \sqrt{13})^2 \).

Тогда \( f(29 - 8\sqrt{13}) = \sqrt{(4 - \sqrt{13})^2} = |4 - \sqrt{13}| \).

Так как \( 4 = \sqrt{16} \) и \( \sqrt{16} > \sqrt{13} \), то \( 4 - \sqrt{13} > 0 \). Следовательно, \( |4 - \sqrt{13}| = 4 - \sqrt{13} \).

Теперь найдём значение \( g(4 + \sqrt{13}) \):

\( g(4 + \sqrt{13}) = \frac{3}{4 + \sqrt{13}} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 4 - \sqrt{13} \) для избавления от иррациональности в знаменателе:

\( g(4 + \sqrt{13}) = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{(4 + \sqrt{13})(4 - \sqrt{13})} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{4^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{16 - 13} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{3} = 4 - \sqrt{13} \)

Мы получили, что \( f(29 - 8\sqrt{13}) = 4 - \sqrt{13} \) и \( g(4 + \sqrt{13}) = 4 - \sqrt{13} \).

Значит, значения выражений равны.

Ответ: значения выражений равны.