7. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудалённая от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояния от этой точки до вершин квадрата.

Пусть O — точка пересечения диагоналей квадрата, P — заданная точка, а A — любая вершина. Диагональ квадрата равна \(4\sqrt{2}\) см, поэтому \(OA=2\sqrt{2}\) см.

Поскольку P равноудалена от всех вершин, она лежит на перпендикуляре к плоскости квадрата, проходящем через его центр O. Следовательно, \(PO\perp OA\), где \(PO=6\) см.

По теореме Пифагора:

\[PA^2=PO^2+OA^2=6^2+(2\sqrt{2})^2=36+8=44.\]

Ответ: расстояние от заданной точки до каждой вершины квадрата равно \(2\sqrt{11}\) см.