7. Теңдеулерді бөлшектеңдер: 1) $\left(\frac{b^3-1}{b-1}+b\right):\frac{b^2-1}{b-1}=b+1$; 2) $\frac{1+b}{1-b^2}\cdot\left(\frac{1+b^3}{1+b}-b\right)=1-b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. Теңдеулерді бөлшектеңдер: 1) $\left(\frac{b^3-1}{b-1}+b\right):\frac{b^2-1}{b-1}=b+1$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Область допустимых значений: $b\ne 1$.

Разложим разность кубов:

\[\frac{b^3-1}{b-1}=b^2+b+1.\]

Тогда левая часть:

\[\left(b^2+b+1+b\right):\frac{b^2-1}{b-1}=\left(b^2+2b+1\right):\frac{(b-1)(b+1)}{b-1}.\]

\[\frac{(b+1)^2}{b+1}=b+1.\]

Следовательно, равенство верно при всех допустимых значениях.

Ответ: тождество, $b\ne1$.

2) Область допустимых значений: $b\ne 1,\; b\ne -1$.

Разложим сумму кубов:

\[\frac{1+b^3}{1+b}=\frac{(1+b)(b^2-b+1)}{1+b}=b^2-b+1.\]

Тогда:

\[\frac{1+b^3}{1+b}-b=b^2-2b+1=(b-1)^2.\]

И вся левая часть равна:

\[\frac{1+b}{1-b^2}(b-1)^2=\frac{1+b}{(1-b)(1+b)}(b-1)^2=\frac{(b-1)^2}{1-b}=b-1.\]

Получается $b-1$, а не $1-b$. Поэтому записанное равенство верно только при $b=1$, но это значение запрещено областью допустимых значений.

Ответ: решений нет; левая часть тождественно равна $b-1$ при $b\ne\pm1$.

7. Теңдеулерді бөлшектеңдер: 1) \(\left(\frac{b^3-1}{b-1}+b\right):\frac{b^2-1}{b-1}=b+1\); 2) \(\frac{1+b}{1-b^2}\cdot\left(\frac{1+b^3}{1+b}-b\right)=1-b\).