7. Тип 7 № 3850 Найдите значение выражения $$\frac{x^2+10x+25}{x^2-9} : \frac{4x+20}{2x+6}$$ при $$x = -7$$.

Краткое пояснение:

Чтобы найти значение выражения, нужно сначала упростить его, выполнив деление дробей, а затем подставить данное значение $$x$$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим выражение. Деление дробей равносильно умножению на обратную дробь.
   \( \frac{x^2+10x+25}{x^2-9} : \frac{4x+20}{2x+6} = \frac{x^2+10x+25}{x^2-9} \cdot \frac{2x+6}{4x+20} \)
2. Шаг 2: Разложим числители и знаменатели на множители.
   Числитель первой дроби: $$x^2+10x+25 = (x+5)^2$$ (полный квадрат).
   Знаменатель первой дроби: $$x^2-9 = (x-3)(x+3)$$ (разность квадратов).
   Числитель второй дроби: $$2x+6 = 2(x+3)$$.
   Знаменатель второй дроби: $$4x+20 = 4(x+5)$$.
3. Шаг 3: Подставим разложенные выражения в дробь и сократим.
   \( \frac{(x+5)^2}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{4(x+5)} = \frac{(x+5)(x+5)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{4(x+5)} \)
   Сокращаем $$(x+5)$$ и $$(x+3)$$:
   \( = \frac{x+5}{x-3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{x+5}{x-3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{x+5}{2(x-3)} \)
4. Шаг 4: Подставим $$x = -7$$ в упрощенное выражение.
   \( \frac{-7+5}{2(-7-3)} = \frac{-2}{2(-10)} = \frac{-2}{-20} \)
5. Шаг 5: Вычислим окончательное значение.
   \( \frac{-2}{-20} = \frac{1}{10} \)

Ответ: $$\frac{1}{10}$$