7 Тип 7 № 568 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Номер в банке ФИПИ: 2D4016

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \[ \angle ABC = 54^{\circ} \]
• \[ \angle CAD = 41^{\circ} \]

Найти: \[ \angle ABD \]

Решение:

1. \[ \angle BCD \] и \[ \angle BAD \] — противоположные углы вписанного четырёхугольника. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
2. \[ \angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD \]
3. \[ \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \]
4. \[ \angle BAC \] и \[ \angle BDC \] — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC. Следовательно, \[ \angle BAC = \angle BDC \].
5. \[ \angle CAD \] и \[ \angle CBD \] — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу CD. Следовательно, \[ \angle CBD = \angle CAD = 41^{\circ} \].
6. \[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \]
7. \[ 54^{\circ} = \angle ABD + 41^{\circ} \]
8. \[ \angle ABD = 54^{\circ} - 41^{\circ} = 13^{\circ} \]

Ответ: 13