7. В ΔCDE ∠D — прямой, ∠E = 45°, CE = 16 см, DO — биссектриса угла D, OP₁ — высота ΔOCD, OP₂ — высота ΔODE. 1) Найдите P₁P₂. 2) С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник со сторонами P₁P₂/2.

Так как \(∠D=90^\circ\), \(∠E=45^\circ\), то \(∠C=45^\circ\). Следовательно, треугольник CDE — равнобедренный прямоугольный.

Биссектриса прямого угла одновременно является медианой гипотенузы, поэтому:

\(CO=OE=\dfrac{CE}{2}=8\) см.

Треугольники OCD и ODE симметричны относительно биссектрисы DO. Поэтому точки P₁ и P₂ симметричны относительно DO, а их расстояние равно 8 см:

\(P_1P_2=8\) см.

Сторона требуемого равностороннего треугольника:

\(\dfrac{P_1P_2}{2}=\dfrac{8}{2}=4\) см.

Построение: отложить отрезок длиной 4 см; из его концов провести окружности радиуса 4 см; соединить одну из точек пересечения окружностей с концами отрезка. Получится равносторонний треугольник со стороной 4 см.

Ответ: P₁P₂ = 8 см; сторона равностороннего треугольника — 4 см.