7. В каждой клетке доски 7×9 стоит не более одной фишки. Дима утверждает, что в каждом прямоугольнике 3×4 (и 4×3) стоит не менее 6 фишек. Вика утверждает, что в каждой полоске из пяти последовательных клеток одного ряда или одного столбца стоит не более двух фишек. Могут ли оба утверждения быть верны одновременно? Обоснуйте ответ.

Нет, оба утверждения не могут быть верны одновременно.

1. По утверждению Вики в любых четырёх последовательных клетках одного ряда может быть не более двух фишек: эти клетки входят в полоску из пяти последовательных клеток.

2. Рассмотрим любой прямоугольник размером 3×4. В каждой из его трёх строк находится не более двух фишек в четырёх клетках. Значит, всего в прямоугольнике не более шести фишек. По утверждению Димы их не менее шести, поэтому в каждой из трёх строк ровно по две фишки в этих четырёх клетках.

3. Следовательно, в любой строке любые четыре последовательные клетки содержат ровно две фишки: для каждого ряда можно выбрать прямоугольник 3×4, включающий этот ряд.

4. Возьмём в строке клетки с номерами 1–4: в них ровно две фишки. Тогда в полоске 1–5 уже не может быть фишки в клетке 5, иначе там окажется три фишки. Аналогично из полоски 2–6 следует, что клетка 6 пуста, а из полоски 3–7 — что пуста клетка 7.

5. Но в клетках 4–7 должно быть ровно две фишки по шагу 3, а клетками 5, 6 и 7 фишек нет. В этих четырёх клетках может быть не более одной фишки — противоречие.

Ответ: нет, утверждения не могут быть верны одновременно.