7. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки N и M — середины рёбер AB и AD соответственно. Точка K лежит на ребре CC₁ так, что CK : KC₁ = 2 : 1. Постройте сечение куба плоскостью MNK и запишите план построения.

Построим сечение. На грани ABCD отрезок MN является следом секущей плоскости. Продлим MN до пересечения с прямой BC в точке X. Тогда прямая BX принадлежит грани BCC₁B₁. Проведём через K прямую, параллельную BX: она пересечёт ребро BB₁ в точке P. Аналогично продлим MN до пересечения с прямой CD в точке Y; через K проведём прямую, параллельную DY, до пересечения с ребром DD₁ в точке Q. Сечение — пятиугольник NPKQM.

Проверка положения точек: зададим координаты куба A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), а вертикальное ребро примем за ось z. Тогда N(1/2,0,0), M(0,1/2,0), K(1,1,2/3). Плоскость MNK имеет уравнение x + y − 9z/4 = 1/2. На ребре BB₁ она пересекается при z = 2/9, а на DD₁ — также при z = 2/9. Значит, точки P и Q действительно лежат на указанных рёбрах.

1. Отметить середины N ребра AB и M ребра AD; на ребре CC₁ отметить K с отношением CK : KC₁ = 2 : 1.
2. Провести MN и продлить его до пересечения с прямыми BC и CD; обозначить точки пересечения X и Y.
3. На грани BCC₁B₁ через K провести прямую, параллельную BX; отметить её пересечение с BB₁ как P.
4. На грани DCC₁D₁ через K провести прямую, параллельную DY; отметить её пересечение с DD₁ как Q.
5. Соединить точки в порядке N–P–K–Q–M–N.

Ответ: сечение — пятиугольник NPKQM.