7. В металлическую кастрюлю при температуре \(t_0 = 10\ ^\circ\mathrm{C}\) наливают один литр горячей воды, имеющей температуру \(t = 90\ ^\circ\mathrm{C}\). После установления теплового равновесия температура воды оказалась равной \(t_1 = 70\ ^\circ\mathrm{C}\). Затем в эту же кастрюлю доливают еще два литра горячей воды, температура которой \(t = 90\ ^\circ\mathrm{C}\). Какая температура установится в кастрюле? Потерями теплоты пренебречь.

Считаем, что плотность воды равна 1 кг/л, а удельная теплоёмкость воды — 4200 Дж/(кг·°C).

1. В первом опыте 1 кг воды остывает с 90 °C до 70 °C и отдаёт теплоту, которую получает кастрюля:

   \(Q_1 = 1 \cdot 4200 \cdot (90-70) = 84\,000\) Дж.

2. Кастрюля нагревается с 10 °C до 70 °C. Из равенства полученной ею теплоты и отданной водой находим теплоёмкость кастрюли \(C\):

   \(C \cdot (70-10) = 84\,000\), поэтому \(C = 1400\) Дж/°C.

3. Во втором опыте горячие 2 кг воды остывают до конечной температуры \(T\), а исходные 1 кг воды и кастрюля нагреваются с 70 °C до \(T\):

   \(2 \cdot 4200 \cdot (90-T) = (1 \cdot 4200 + 1400)(T-70)\).

4. Решаем уравнение: \(8400(90-T)=5600(T-70)\), откуда \(T=82\ ^\circ\mathrm{C}\).

Ответ: 82 °C.