7. В окръжност с радиус R е дадена хорда със съответен централен ъгъл а. Намерете дължината на хордата и разстоянието от центъра на окръжността до хордата.

Решение:

Нека разгледаме триъгълник, образуван от два радиуса и хордата. Този триъгълник е равнобедрен, като страните, които са радиуси, са равни на R, а ъгълът между тях е α.

1. Дължина на хордата:

Разполовяваме равнобедрения триъгълник, като спуснем височина от центъра на окръжността към хордата. Височината разполовява централния ъгъл α на два ъгъла по α/2 и разполовява хордата на две равни части.

В получения правоъгълен триъгълник имаме:

• Хипотенуза = R
• Ъгъл = α/2
• Катет срещу ъгъла = половината от дължината на хордата (нека я означим с l/2).

Прилагаме синус:
\( \sin(\alpha/2) = \frac{l/2}{R} \)
Оттук:
\( l/2 = R \cdot \sin(\alpha/2) \)
\( l = 2R \cdot \sin(\alpha/2) \)

2. Разстояние от центъра на окръжността до хордата:

В същия правоъгълен триъгълник, разстоянието от центъра до хордата е прилежащият катет към ъгъла α/2.

Прилагаме косинус:
\( \cos(\alpha/2) = \frac{d}{R} \)
Оттук:
\( d = R \cdot \cos(\alpha/2) \)

Ответ: Дължината на хордата е \( l = 2R \cdot \sin(\alpha/2) \), а разстоянието от центъра до хордата е \( d = R \cdot \cos(\alpha/2) \).