7. В окружности проведены хорда СР и диаметр АВ (см. рисунок). Найдите: 1) углы треугольника АВС, если ∠P = α; 2) радиус окружности, если РМ = 6, CM = 8, BM = 4.

Решение:

1. Углы треугольника АВС:

Так как АВ — диаметр, то угол АСВ, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол САВ и угол СРВ опираются на одну дугу СВ, следовательно, \( \angle САВ = \angle CPB \).

Угол АСВ = 90°.

Угол СВА и угол СРА опираются на одну дугу СА, следовательно, \( \angle CBA = \angle CPA \).

Угол РСА и угол РВА опираются на одну дугу РА, следовательно, \( \angle PCA = \angle PBA \).

Угол РСВ и угол РАВ опираются на одну дугу РВ, следовательно, \( \angle RCB = \angle PAB \).

Из условия \( \angle P = \alpha \). На рисунке \( \angle P \) является углом \( \angle APB \) или \( \angle CPB \) или \( \angle APС \). По условию, \( \angle P = \alpha \) относится к треугольнику АВС, поэтому мы принимаем \( \angle CPA = \alpha \).

Тогда \( \angle CBA = \angle CPA = \alpha \).

В прямоугольном треугольнике АВС (\( \angle ACB = 90^\circ \)) сумма углов равна 180°, следовательно:

\( \angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ \)

\( \angle CAB + \alpha + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \angle CAB = 180^\circ - 90^\circ - \alpha \)

\( \angle CAB = 90^\circ - \alpha \)

Ответ: Углы треугольника АВС: \( \angle ACB = 90^\circ \), \( \angle CBA = \alpha \), \( \angle CAB = 90^\circ - \alpha \).

2. Радиус окружности:

РМ = 6, СМ = 8, ВМ = 4.

В окружности хорда РС перпендикулярна диаметру АВ. По теореме о перпендикулярных хорде и диаметре, хорда, перпендикулярная диаметру, делится им пополам. Однако, РС не делится пополам точкой М, так как РМ = 6, а СМ = 8. Значит, М — точка на диаметре АВ, и РС — хорда, пересекающая АВ в точке М.

Из рисунка видно, что М — точка пересечения хорды РС и диаметра АВ.

По теореме о пересекающихся хордах (или теореме о секущих, примененной к пересекающимся хордам), произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Хорда РС пересекает диаметр АВ в точке М. Отрезки хорды РС равны РМ = 6 и СМ = 8.

Диаметр АВ состоит из отрезков АМ и ВМ. Нам известно, что ВМ = 4.

По теореме о пересекающихся хордах:

\( РМ \cdot CM = AM \cdot BM \)

\( 6 \cdot 8 = AM \cdot 4 \)

\( 48 = AM \cdot 4 \)

\( AM = \frac{48}{4} \)

\( AM = 12 \)

Диаметр АВ равен сумме отрезков АМ и ВМ:

\( AB = AM + BM = 12 + 4 = 16 \)

Радиус окружности равен половине диаметра:

\( R = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

Ответ: Радиус окружности равен 8.