7. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу AB, равна 14√6. Найдите sin ∠ABC.

В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе не может быть больше любого катета: площадь можно выразить как \(\dfrac12 AC\cdot BC=\dfrac12 AB\cdot CH\), а также \(CH=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}

Но по условию \(CH=14\sqrt6\approx34.3\), что меньше 35, поэтому противоречия нет. Обозначим \(BC=x\). По формуле высоты к гипотенузе и теореме Пифагора:

\(14\sqrt6=\dfrac{35x}{\sqrt{35^2+x^2}}.\)

Возводим в квадрат: \(1176(1225+x^2)=1225x^2\), откуда \(x^2=\dfrac{1176\cdot1225}{49}=29400\) и \(x=70\sqrt6\).

Тогда \(AB=\sqrt{35^2+(70\sqrt6)^2}=35\sqrt{25}=175\), поэтому \(\sin\angle ABC=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{35}{175}=\dfrac15\).

Ответ: \(\dfrac15\).