7. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 3√5, высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 4√6. Найдите ∠АВС.

Обозначим гипотенузу через c, а катеты — через a и b. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: ab/2 и c·CH/2, поэтому ab = c·CH.

Пусть AC = a = 3√5, BC = b, а AB = c. Тогда по теореме Пифагора c² = a² + b², а из равенства площадей ab = c·4√6.

Подставим b = c·4√6/a в теорему Пифагора. После упрощения получаем c² = 45·c²/(c² − 96), откуда c² = 141. Тогда BC² = 141 − 45 = 96, следовательно, BC = 4√6.

Для угла при B противолежащий катет — AC, а прилежащий — BC. Поэтому \(\tan \angle ABC = \frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{8}\).

Ответ: \(\angle ABC = \arctan\left(\frac{\sqrt{30}}{8}\right)\approx 31.0^\circ\).