7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса ВМ, причем AMB = 110°. Найдите угол ВАМ.

Дано:

• Треугольник ABC — прямоугольный.
• ∠C = 90°.
• BM — биссектриса.
• ∠AMB = 110°.

Найти:

• ∠BAM (или ∠A).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ∆AMB. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
2. ∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°.
3. Подставим известное значение: ∠BAM + ∠ABM + 110° = 180°.
4. ∠BAM + ∠ABM = 180° - 110° = 70°.
5. BM — биссектриса угла B. Это значит, что она делит угол B пополам: ∠ABM = ∠MBC.
6. Также, в прямоугольном треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC = 90° (так как ∠C = 90°).
7. ∠BAM — это тот же угол, что и ∠BAC.
8. Пусть ∠BAM = ∠A. Тогда ∠ABC = 90° - ∠A.
9. ∠ABM = ∠ABC / 2 = (90° - ∠A) / 2.
10. Теперь подставим это в уравнение из пункта 4: ∠A + (90° - ∠A) / 2 = 70°.
11. Умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби: 2 * ∠A + (90° - ∠A) = 140°.
12. 2 * ∠A + 90° - ∠A = 140°.
13. ∠A + 90° = 140°.
14. ∠A = 140° - 90° = 50°.

Ответ: Угол ВАМ равен 50°.