7. В прямоугольном треугольнике CDE отмечена середина на гипотенузы DE — точка М. Найдите ∠CME, если ∠D=44°.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике CDE (угол ∠C = 90°), точка M — середина гипотенузы DE.
2. Шаг 2: По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это означает, что \( CM = ME = MD \).
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник CMD. Так как CM = MD, то треугольник CMD является равнобедренным. Углы при основании равны: \( \angle MCD = \angle MDC \).
4. Шаг 4: По условию, \( \angle D = 44^{\circ} \). Следовательно, \( \angle MCD = 44^{\circ} \).
5. Шаг 5: Найдем угол ∠CMD. Сумма углов в треугольнике CMD равна 180°. \( \angle CMD + \angle MCD + \angle MDC = 180^{\circ} \).
6. Шаг 6: Подставим известные значения: \( \angle CMD + 44^{\circ} + 44^{\circ} = 180^{\circ} \).
7. Шаг 7: Решим уравнение: \( \angle CMD + 88^{\circ} = 180^{\circ} \), \( \angle CMD = 180^{\circ} - 88^{\circ} = 92^{\circ} \).
8. Шаг 8: Аналогично, рассмотрим треугольник CME. Так как CM = ME, то треугольник CME является равнобедренным. Углы при основании равны: \( \angle ECM = \angle EMC \).
9. Шаг 9: Угол ∠DCE = 90°. Мы нашли \( \angle MCD = 44^{\circ} \). Значит, \( \angle ECM = \angle DCE - \angle MCD = 90^{\circ} - 44^{\circ} = 46^{\circ} \).
10. Шаг 10: Следовательно, \( \angle EMC = 46^{\circ} \).

Примечание: Задача спрашивает ∠CME. В предыдущих шагах мы нашли ∠CMD и ∠EMC. Если M - середина гипотенузы DE, то CME - это часть треугольника CDE. Угол ∠CME ищется в треугольнике CME, который равнобедренный (CM=ME). Поэтому \( \angle MEC = \angle DCE = 44^{\circ} \). Нет, \( \angle MEC = \angle MDC = 44^{\circ} \) - это неверно. \( \angle MEC = \angle MCE \) из-за равнобедренности CME.

Повторное решение:

1. M — середина гипотенузы DE. CM = ME = MD.

2. Треугольник CME — равнобедренный (CM = ME). Значит, \( \angle MCE = \angle MEC \).

3. Треугольник CMD — равнобедренный (CM = MD). Значит, \( \angle MCD = \angle MDC = 44^{\circ} \).

4. В прямоугольном треугольнике CDE, \( \angle CED + \angle CDE = 90^{\circ} \).

\( \angle CED + 44^{\circ} = 90^{\circ} \) => \( \angle CED = 90^{\circ} - 44^{\circ} = 46^{\circ} \).

5. Так как M лежит на DE, то \( \angle MEC = \angle CED = 46^{\circ} \).

6. В равнобедренном треугольнике CME, \( \angle MCE = \angle MEC = 46^{\circ} \).

7. Угол \( \angle CME \) в треугольнике CME: \( \angle CME = 180^{\circ} - (\angle MCE + \angle MEC) = 180^{\circ} - (46^{\circ} + 46^{\circ}) = 180^{\circ} - 92^{\circ} = 88^{\circ} \).

Проверка:

Угол ∠DCM = 44° (из равнобедренного треугольника CMD).

Угол ∠ECM = 46° (найденный ранее).

Угол ∠DCE = ∠DCM + ∠ECM = 44° + 46° = 90°. Это соответствует условию, что треугольник CDE прямоугольный.

Ответ: ∠CME = 88°.