7. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

Из рисунка видно, что:

• Высота трапеции \( h = 5 \).
• Меньшее основание \( b = 6 \).
• Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания высота, отсекает прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Высота \( h = 5 \) — противолежащий катет к углу \( 45^{\circ} \).
• Отрезок, прилежащий к углу \( 45^{\circ} \) (разность оснований, деленная пополам), — прилежащий катет.

Так как угол при основании равен \( 45^{\circ} \), то треугольник является равнобедренным, следовательно, прилежащий катет тоже равен 5.

Пусть \( x \) — длина этого отрезка. Тогда \( x = 5 \).

Разность оснований \( a - b = 2x \).

\( a - 6 = 2 \cdot 5 \)

\( a - 6 = 10 \)

\( a = 10 + 6 \)

\( a = 16 \)

Ответ: 16.