7. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

В равнобедренной трапеции высота, проведенная к большему основанию, отсекает от него отрезок, равный полуразности оснований. Угол при основании равен 45°, а высота равна 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания. В этом треугольнике угол при основании равен 45°, а противолежащий катет (высота) равен 5. Так как это прямоугольный треугольник с углом 45°, то второй острый угол также равен 45°, значит, треугольник равнобедренный. Следовательно, прилежащий катет (отрезок большего основания) также равен 5.

Пусть \( a \) — меньшее основание, \( b \) — большее основание, \( h \) — высота. По условию \( a = 6 \), \( h = 5 \). Угол при основании равен 45°.

Отрезок большего основания, отсекаемый высотой, равен \( \frac{b-a}{2} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и отрезком основания, имеем:

\( \tan(45°) = \frac{h}{\frac{b-a}{2}} \)

Так как \( \tan(45°) = 1 \), то:

\( 1 = \frac{5}{\frac{b-6}{2}} \)

\( \frac{b-6}{2} = 5 \)

\( b-6 = 10 \)

\( b = 16 \)

Ответ: 16