7. В треугольнике ABC ∠A=60°, ∠B=30°. Установите вид треугольника и найдите АВ, если АС=4см.

Решение:

1. Найдём третий угол треугольника:

Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$.

\( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B \)

\( \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ} \)

2. Определим вид треугольника:

Так как один из углов треугольника равен $$90^{\circ}$$, то треугольник ABC — прямоугольный.

3. Найдём длину стороны АВ:

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \( \angle A = 60^{\circ} \)
• \( \angle B = 30^{\circ} \)
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• Сторона AC — катет, противолежащий углу B, AC = 4 см.
• Сторона AB — гипотенуза.

Используем соотношение между катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике:

\( \sin(\angle B) = \frac{AC}{AB} \)

\( \sin(30^{\circ}) = \frac{4}{AB} \)

Мы знаем, что \( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \).

\( \frac{1}{2} = \frac{4}{AB} \)

Отсюда, \( AB = 4 \times 2 = 8 \) см.

Ответ: Треугольник ABC — прямоугольный. Длина стороны AB равна 8 см.