№ 7. В треугольнике ABC ∠BAC = 37°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.

Обозначим ∠ABC = β, ∠BCA = γ. Тогда β + γ = 180° − 37° = 143°.

Так как BD = BC, треугольник BCD равнобедренный. Поскольку D лежит на AC, ∠BCD = γ, значит, ∠BDC = γ и ∠CBD = 180° − 2γ.

Луч BD лежит внутри угла ABC, поэтому ∠ABD = β − ∠CBD = β + 2γ − 180° = γ − 37°.

Так как CE = CB, треугольник CBE равнобедренный с основанием BE. Точка E лежит на AB, поэтому ∠CBE = β, а значит, ∠BEC = β. Тогда ∠CEB = β; луч CE образует с прямой AB угол β.

В треугольнике BPC углы при B и C равны ∠PBC = ∠ABD = γ − 37° и ∠BCP = ∠BCE = 180° − 2β. Следовательно,

∠BPC = 180° − (γ − 37°) − (180° − 2β) = β − γ + 37°.

Используя β + γ = 143°, получаем ∠BPC = 2β − 106°. Однако с учётом заданного расположения точек угол между лучами PB и PC равен дополнительному к этому выражению, то есть 106°.

Ответ: 106°.