7. Вершину тупого угла A параллелограмма ABCD соединили с точкой E — серединой его стороны CD. Высота CH параллелограмма пересекает отрезок AM в точке O. Найдите BO, если AO = a, OM = b.

По рисунку точка M — середина стороны CD. Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf u\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf v\), а точку A примем за начало координат. Тогда \(B=\mathbf u\), \(D=\mathbf v\), \(C=\mathbf u+\mathbf v\), и из того, что M — середина CD, получаем \(M=\mathbf v+\frac12\mathbf u\).

Пусть \(O\) делит AM в отношении \(AO:OM=a:b\). Тогда \(O=\frac{a}{a+b}M=\frac{a}{a+b}\left(\mathbf v+\frac12\mathbf u\right)\).

Поскольку CH — высота к AD, прямая CH перпендикулярна AD. Условие \(O\in CH\) означает, что составляющая вектора \(O-C\) вдоль \(\mathbf v\) равна нулю. Сравнивая коэффициенты при \(\mathbf v\), имеем \(\frac{a}{a+b}-1=0\), откуда \(a=a+b\). Это невозможно при положительных длинах \(a\) и \(b\).

Следовательно, условие содержит противоречие: при указанном на рисунке положении M как середины CD прямая AM не пересекает высоту CH внутри отрезка AM (кроме вырожденного случая). Нельзя определить BO по данным задачи; вероятно, в условии или на рисунке есть ошибка.