7. Вычислить: А) \(\frac{8^3 \cdot 16^4}{32^5}\) Б) \(\frac{9^5 \cdot 27^4}{81^5}\)

Решение:

А)

1. Представим все числа в виде степеней двойки: \( 8 = 2^3 \), \( 16 = 2^4 \), \( 32 = 2^5 \).
2. Подставим в выражение: \[ \frac{(2^3)^3 \cdot (2^4)^4}{(2^5)^5} \]
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{4 \cdot 4}}{2^{5 \cdot 5}} = \frac{2^9 \cdot 2^{16}}{2^{25}} \]
4. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \[ \frac{2^{9+16}}{2^{25}} = \frac{2^{25}}{2^{25}} \]
5. Любое число, делённое само на себя, равно 1: \[ 2^{25-25} = 2^0 = 1 \]

Б)

1. Представим все числа в виде степеней тройки: \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \), \( 81 = 3^4 \).
2. Подставим в выражение: \[ \frac{(3^2)^5 \cdot (3^3)^4}{(3^4)^5} \]
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{3^{2 \cdot 5} \cdot 3^{3 \cdot 4}}{3^{4 \cdot 5}} = \frac{3^{10} \cdot 3^{12}}{3^{20}} \]
4. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \[ \frac{3^{10+12}}{3^{20}} = \frac{3^{22}}{3^{20}} \]
5. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 3^{22-20} = 3^2 = 9 \]

Ответ: А) 1, Б) 9.