7) Вычислить $\displaystyle\int_{4}^{8}\frac{5x}{x^2+20}\,dx$; $n=10$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7) Вычислить $\displaystyle\int_{4}^{8}\frac{5x}{x^2+20}\,dx$; $n=10$.$ Фото задания

Accepted Answer

Первообразная находится подстановкой: производная знаменателя $x^2+20$ равна $2x$.

\[\int\frac{5x}{x^2+20}\,dx=\frac{5}{2}\ln(x^2+20)+C.\]

Подставим пределы интегрирования:

\[\int_{4}^{8}\frac{5x}{x^2+20}\,dx=\frac{5}{2}\bigl(\ln 84-\ln 36\bigr)=\frac{5}{2}\ln\frac{7}{3}.\]

Параметр $n=10$ сам по себе не задаёт способ численного приближения; точное значение интеграла найдено.

Ответ: $\frac{5}{2}\ln\frac{7}{3}$.

7) Вычислить \(\displaystyle\int_{4}^{8}\frac{5x}{x^2+20}\,dx\); \(n=10\).