7. Вычислите интегралы: 1) \(\int_{-2}^{3} 4x^3dx\) 2) \(\int_{-1}^{2} (1-3x^2)dx\) 3) \(\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx\)

Решение:

1. \( \int_{-2}^{3} 4x^3dx \)

Найдём первообразную для \( 4x^3 \): \( F(x) = \frac{4x^{3+1}}{3+1} = x^4 \). Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{-2}^{3} 4x^3dx = [x^4]_{-2}^{3} = (3)^4 - (-2)^4 = 81 - 16 = 65 \]

2. \( \int_{-1}^{2} (1-3x^2)dx \)

Найдём первообразную для \( 1-3x^2 \): \( F(x) = x - \frac{3x^{2+1}}{2+1} = x - x^3 \). Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{-1}^{2} (1-3x^2)dx = [x - x^3]_{-1}^{2} = (2 - 2^3) - (-1 - (-1)^3) = (2 - 8) - (-1 - (-1)) = -6 - (-1 + 1) = -6 - 0 = -6 \]

3. \( \int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx \)

Найдём первообразную для \( \sin x \): \( F(x) = -\cos x \). Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_{-2\pi}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(-2\pi)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 \]

Ответ: 1) 65; 2) -6; 3) 2.