Решение:
Анализируем предложения:
- Туман поднимаясь неторопливо таял на глазах у путников. — Здесь есть обособленное обстоятельство (деепричастный оборот «поднимаясь неторопливо»), которое требует постановки запятой после него.
- Туристы утомлённые походом остановились у берега реки. — Здесь «утомлённые походом» — причастный оборот, стоящий перед определяемым словом «туристы», поэтому запятая не ставится.
- Повсюду виднелись зелёные луга залитые солнцем. — Здесь «залитые солнцем» — причастный оборот, стоящий перед определяемым словом «луга», поэтому запятая не ставится.
- Любимые мною романы Льва Толстого стоят на нижней полке. — Здесь «любимые мною» — причастный оборот, стоящий перед определяемым словом «романы», поэтому запятая не ставится.
Предложение, в котором нужна одна запятая, — первое.
Ответ: Туман поднимаясь неторопливо таял на глазах у путников. Основание: обособленное обстоятельство (деепричастный оборот «поднимаясь неторопливо») требует постановки запятой.