7. Являются ли взаимно простыми числа: а) 55 и 78? б) 36 и 125? в) 48 и 66? г) 701 и 853?

Числа взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен 1.

1. а) 55 и 78: 55 = 5 · 11, 78 = 2 · 3 · 13. Общих простых делителей нет, поэтому НОД(55, 78) = 1. Взаимно простые.
2. б) 36 и 125: 36 = 2² · 3², 125 = 5³. Общих простых делителей нет, поэтому НОД(36, 125) = 1. Взаимно простые.
3. в) 48 и 66: 48 = 2⁴ · 3, 66 = 2 · 3 · 11. Общие делители содержат 2 · 3, поэтому НОД(48, 66) = 6. Не взаимно простые.
4. г) 701 и 853: алгоритм Евклида: 853 − 701 = 152; 701 = 4 · 152 + 93; 152 = 93 + 59; 93 = 59 + 34; 59 = 34 + 25; 34 = 25 + 9; 25 = 2 · 9 + 7; 9 = 7 + 2; 7 = 3 · 2 + 1. Следовательно, НОД(701, 853) = 1. Взаимно простые.

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да.