71-80. Вычислить указанные двойные интегралы и изменить порядок интегрирования. 80. \(\iint_D dx dy\), где область D: \(y = 1; y = 2; x = 0; y = e^x\).

Решение:

Задан двойной интеграл \(\iint_D dx dy\), где область D описывается условиями \(y = 1; y = 2; x = 0; y = e^x\).

Сначала определим границы интегрирования. Из условий \(y = 1\) и \(y = 2\) следует, что \(1 \le y \le 2\). Условие \(x = 0\) задает одну из границ по \(x\). Условие \(y = e^x\) можно переписать как \(x = \ln y\). Таким образом, границы по \(x\) будут от \(0\) до \(\ln y\).

Запишем интеграл в порядке \(dx dy\):

\[
\int_{1}^{2} \int_{0}^{\ln y} dx dy
\]

Сначала вычислим внутренний интеграл по \(x\):

\[
\int_{0}^{\ln y} dx = [x]_{0}^{\ln y} = \ln y - 0 = \ln y
\]

Теперь вычислим внешний интеграл по \(y\):

\[
\int_{1}^{2} \ln y dy
\]

Для вычисления интеграла от \(\ln y\) используем интегрирование по частям. Пусть \(u = \ln y\), \(dv = dy\). Тогда \(du = \frac{1}{y} dy\) и \(v = y\).

\[
\int u dv = uv - \int v du
\]
\[
\int \ln y dy = y \ln y - \int y \cdot \frac{1}{y} dy = y \ln y - \int dy = y \ln y - y
\]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[
[y \ln y - y]_{1}^{2} = (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1)
\]

Так как \(\ln 1 = 0\), получаем:

\[
(2 \ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2 \ln 2 - 2 + 1 = 2 \ln 2 - 1
\]

Изменим порядок интегрирования. Границы по \(x\) определяются условиями \(x = 0\) и \(y = e^x\). Когда \(y = 1\), \(x = \ln 1 = 0\). Когда \(y = 2\), \(x = \ln 2\). Таким образом, \(0 \le x \le \ln 2\).

Для \(x\) в этом диапазоне, \(y\) изменяется от \(e^x\) до \(2\).

Запишем интеграл в порядке \(dy dx\):

\[
\int_{0}^{\ln 2} \int_{e^x}^{2} dy dx
\]

Вычислим внутренний интеграл по \(y\):

\[
\int_{e^x}^{2} dy = [y]_{e^x}^{2} = 2 - e^x
\]

Теперь вычислим внешний интеграл по \(x\):

\[
\int_{0}^{\ln 2} (2 - e^x) dx
\]
\[
= [2x - e^x]_{0}^{\ln 2}
\]
\[
= (2 \ln 2 - e^{\ln 2}) - (2 \cdot 0 - e^0)
\]
\[
= (2 \ln 2 - 2) - (0 - 1)
\]
\[
= 2 \ln 2 - 2 + 1 = 2 \ln 2 - 1
\]

Оба порядка интегрирования дают одинаковый результат.

Ответ: \(2 \ln 2 - 1\).