71. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

1. По условию \(\angle BAC = \angle ACD\) и \(\angle BCA = \angle DAC\).
2. Сторона \(AC\) является общей для треугольников.
3. Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.
4. Из равенства треугольников получаем \(\angle BCA = \angle DAC\), что уже дано, и \(\angle BAC = \angle ACD\). Эти равенства являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \(AB\), \(CD\) секущей \(AC\). Поэтому \(AB \parallel CD\).
5. Аналогично, из равенства соответствующих углов следует \(BC \parallel AD\).

В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

б) По условию \(AB \parallel CD\), поэтому при секущей \(AC\) внутренние односторонние углы supplementary: \(\angle BAC + \angle ACD = 180^\circ\).

1. Угол \(A\) состоит из углов \(BAC\) и \(CAD\), а угол \(C\) — из углов \(BCA\) и \(ACD\).
2. Так как \(\angle A = \angle C\), а \(AB \parallel CD\), получаем равенство накрест лежащих углов \(\angle BAC = \angle ACD\).
3. Тогда \(\angle CAD = \angle BCA\).
4. Равенство накрест лежащих углов при секущей \(AC\) даёт \(AD \parallel BC\).

Итак, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны: \(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC\). Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

Ответ: а) и б) четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом.