72. Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости грани ABC, если: а) точка M является серединой ребра AD; б) точка M лежит внутри грани ABD.

Решение. Плоскость, параллельная грани ABC, пересекает боковые рёбра тетраэдра в точках, соединение которых образует треугольник, подобный треугольнику ABC.

а) Так как M — середина ребра AD, через M проводим плоскость, параллельную плоскости ABC. Она пересекает рёбра DB и DC соответственно в точках N и P. По теореме о средней линии треугольников точки N и P являются серединами рёбер DB и DC. Сечение — треугольник MNP, причём MN ∥ AB, MP ∥ AC, NP ∥ BC.

б) Через точку M в грани ABD проводим прямую, параллельную AB. Она пересекает рёбра AD и BD в точках P и Q. Через точку P проводим прямую, параллельную AC; она пересекает ребро DC в точке R. Сечение — треугольник PQR, содержащий точку M; при этом PQ ∥ AB, PR ∥ AC, QR ∥ BC.

Ответ: а) сечение — треугольник MNP, где N и P — середины рёбер DB и DC; б) сечение — треугольник PQR, построенный через точку M параллельно грани ABC.